Второй признак параллельных прямых. Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых. накрест лежащие углы равны, или

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» содержит доказательство теорем, которые описывают признаки, означающие параллельность прямых. При этом в видео описывается 1) теорема о параллельности прямых, при которых секущей созданы равные углы, 2) признак, означающий параллельность двух прямых - по равным образованным соответственным углам, 3) признак, означающий параллельность двух прямых в случае, когда при их пересечении секущей односторонние углы в сумме составляют 180°. Задача данного видеоурока - ознакомить учеников с признаками, означающими параллельность двух прямых, знание которых необходимо для решения многих практических задач, наглядно представить доказательство данных теорем, формировать навыки в доказательстве геометрических утверждений.

Преимущества видеоурока связаны с тем, что при помощи анимации, голосового сопровождения, возможности выделения цветом, он обеспечивает высокую степень наглядности, может послужить заменой подачи стандартного блока нового учебного материала учителем.

Начинается видеоурок с выведения на экран названия. Перед описанием признаков параллельности прямых ученики знакомятся с понятием секущей. Дается определение секущей как прямой, которая пересекает другие прямые. На экране изображены две прямые a и b, которые пересекаются прямой с. Построенная прямая с выделена синим цветом, акцентируя внимание на том, что они является секущей данных прямых а и b. Для того чтобы рассматривать признаки параллельности прямых необходимо более детально ознакомиться с областью пересечения прямых. Секущая в точках пересечения с прямыми образует 8 углов ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, анализируя соотношения которых можно вывести признаки параллельности данных прямых. Отмечается, что углы ∠3 и ∠5, а также ∠2 и ∠4 называются накрест лежащими. Дается подробное объяснение при помощи анимации расположения накрест лежащих углов как углов, которые лежат между параллельными прямыми, и примыкают к прямым, располагаясь накрест. Затем дается понятие односторонних углов, в число которых входят пары ∠4 и ∠5, а также ∠3 и ∠6. Также указываются пары соответственных углов, которых на построенном изображении 4 пары - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

В следующей части видеоурока рассматриваются три признака параллельности любых двух прямых. На экран выводится первое описание. Теорема утверждает, что при равенстве накрест лежащих углов, образуемых секущей, данные прямые будут параллельны. Утверждение сопровождается рисунком, на котором изображены две прямые а и b и секущая АВ. Отмечается, что образуемые накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны между собой. Данное утверждение требует доказательства.

Наиболее просто доказываемый частный случай - когда данные образуемые накрест лежащие углы являются прямыми. Это означает, что секущая является перпендикуляром к прямым, а по уже доказанной теореме в этом случае прямые а и b не будут пересекаться, то есть являются параллельными. Доказательство для данного частного случая описывается на примере изображения, построенного рядом с первым рисунком, выделяя важные детали доказательства при помощи анимации.

Для доказательства в общем случае необходимо проведение дополнительного перпендикуляра из середины отрезка АВ на прямую а. Далее на прямой b откладывается отрезок ВН 1 , равный отрезку АН. Из полученной при этом точки Н 1 проводится отрезок, соединяющий точки О и Н 1 . Далее рассматриваются два треугольника ΔОНА и ΔОВН 1 , равенство которых доказывается по первому признаку равенства двух треугольников. Стороны ОА и ОВ равны по построению, так как точка О отмечалась как середина отрезка АВ. Стороны НА и Н 1 В также равны по построению, так как мы откладывали отрезок Н 1 В, равный НА. А углы ∠1=∠2 по условию задачи. Так как образованные треугольники равны между собой, то и соответствующие оставшиеся пары углов и сторон также равны между собой. Из этого следует, что и отрезок ОН 1 является продолжением отрезка ОН, составляя один отрезок НН 1 . При этом отмечается, что так как построенный отрезок ОН - перпендикуляр к прямой а, то соответственно и отрезок НН 1 является перпендикулярным к прямым а и b. Данный факт означает, используя теорему о параллельности прямых, к которым построен один перпендикуляр, что данные прямые а и b являются параллельными.

Следующая теорема, требующая доказательства - признак равенства параллельных прямых по равенству соответственных углов, образованных при пересечении секущей. Утверждение указанной теоремы выведено на экран и может быть предложено под запись учениками. Доказательство начинается с построения на экране двух параллельных прямых а и b, к которым построена секущая с. Выделенная на рисунке синим цветом. Секущей образованы соответственные углы ∠1 и ∠2, которые по условию равны между собой. Также отмечаются смежные углы ∠3 и ∠4. ∠2 по отношению к углу ∠3 является вертикальным углом. А вертикальные углы всегда равны. К тому же углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими между собой - их равенство (по уже доказанному утверждению) означает, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Последняя часть видеоурока посвящена доказательству утверждения о том, что если сумма односторонних углов, которые образованы при пересечении двух некоторых прямых секущей прямой, будет равняться 180°, в этом случае данные прямые будут параллельны между собой. Доказательство демонстрируется, используя рисунок, на котором изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Образованные пересечением углы отмечены аналогично предыдущему доказательству. По условию, сумма углов ∠1 и ∠4 равна 180°. При этом известно, что сумма углов ∠3 и ∠4 равна 180°, так как они являются смежными. Это означает, что углы ∠1 и ∠3 равны между собой. Данный вывод дает право утверждать, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» может быть использован учителем в качестве самостоятельного блока, демонстрирующего доказательства названных теорем, заменяющего объяснение учителя или сопровождающего его. А подробное объяснение дает возможность использовать материал для самостоятельного изучения учениками и поможет в объяснении материала при дистанционном обучении.

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Определение 1

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Определение 2

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а.

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Аксиома

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Теорема 1

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 - 11 классов).

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Определение 3

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Теорема 2

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 - 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

Теорема 3

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

Теорема 4

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

Теорема 5

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

Теорема 6

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Проиллюстрируем:

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема 7

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = (n b x , n b y) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (А 1 , В 1) и (А 2 , В 2) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b - y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Разберем примеры.

Пример 1

Заданы две прямые: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Мы видим, что n a → = (2 , - 3) - нормальный вектор прямой 2 x - 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 - нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Пример 2

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y - 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, (0 , 1) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y - 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = (2 , - 1) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = (1 , 2) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Теорема 8

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Пример 3

Заданы прямые x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: (1 , 0 , - 3) и (2 , 0 , - 6) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной .

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

накрест лежащие углы равны;

соответственные углы равны;

сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Инструкция

Перед началом доказательства убедитесь, что прямые лежат в одной плоскости и их можно изобразить на ней. Наиболее простым способом доказательства является метод измерения линейкой. Для этого при помощи линейки измерьте расстояние между прямыми в нескольких местах как можно дальше друг от друга. Если расстояние остается неизменным, данные прямые параллельны. Но такой метод недостаточно точен, поэтому лучше используйте другие способы.

Проведите третью прямую, так, чтобы она пересекала обе параллельные прямые. Она образует с ними четыре внешних и четыре внутренних угла. Рассмотрите внутренние углы. Те, которые лежат через секущую прямую называются накрестлежащими. Те, что лежат по одной стороне называются односторонними. При помощи транспортира измерьте два внутренних накрестлежащих угла. Если они равны между собой, то прямые будут параллельными. Если остались сомнения, измерьте односторонние внутренние углы и сложите получившиеся значения. Прямые будут параллельными, если сумма односторонних внутренних углов будет равна 180º.

Если нет транспортира, возьмите угольник с углом 90º. С его помощью постройте перпендикуляр к одной из прямых. После этого продолжите этот перпендикуляр таким образом, чтобы он пересек другую прямую. С помощью того же угольника проверьте, под каким углом этот перпендикуляр пересекает ее. Если этот угол тоже равен 90º, то прямые параллельны между собой.

В том случае, если прямые заданы в декартовой системе координат, найдите их направляющие или нормальные векторы. Если эти векторы, соответственно, между собой коллинеарны, то прямые параллельны. Приведите уравнение прямых к общему виду и найдите координаты нормального вектора каждой из прямых. Его координаты равны коэффициентам А и В. В том случае, если отношение соответствующих координат нормальных векторов одинаково, они коллинеарны, а прямые параллельны.

Например, прямые заданы уравнениями 4х-2у+1=0 и х/1=(у-4)/2. Первое уравнение – общего вида, второе – канонического. Приведите второе уравнение к общему виду. Используйте для этого правило преобразования пропорций, в результате получите 2х=у-4. После приведения к общему виду получите 2х-у+4=0. Поскольку уравнение общего вида для любой прямой записывается Ах+Ву+С=0, то для первой прямой: А=4, В=2, а для второй прямой А=2, В=1. Для первой прямой координаты нормального вектора (4;2), а для второй – (2;1). Найдите отношение соответствующих координат нормальных векторов 4/2=2 и 2/1=2. Эти числа равны, а значит вектора коллинеарны. Поскольку вектора коллинеарны, прямые параллельны.

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятием «параллельные прямые», узнаете, как можно убедиться в параллельности прямых, а также, какими свойствами обладают углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Параллельные прямые

Вы знаете, что понятие «прямая» относится к числу так называемых неопределяемых понятий геометрии.

Вы уже знаете, что две прямые могут совпадать, то есть иметь все общие точки, могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку. Пересекаются прямые под разными углами, при этом углом между прямыми считают наименьших из углов, которые ими образованы. Частным случаем пересечения можно считать случай перпендикулярности, когда угол, образованный прямыми, равен 90 0 .

Но две прямые могут и не иметь общих точек, то есть не пересекаться. Такие прямые называются параллельными .

Поработайте с электронным образовательным ресурсом « ».

Чтобы познакомиться с понятием «параллельные прямые», поработайте в материалами видеоурока

Таким образом, теперь вы знаете определение параллельных прямых.

Из материалов фрагмента видеоурока вы узнали о различных видах углов, которые образуются при пересечении двух прямых третьей.

Пары углов 1 и 4; 3 и 2 называют внутренними односторонними углами (они лежат между прямыми a и b ).

Пары углов 5 и 8; 7 и 6 называют внешними односторонними углами (они лежат вне прямых a и b ).

Пары углов 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 называют односторонними углами при прямых a и b и секущей c . Как вы видите, из пары соответственных углов один лежит между прямым a и b , а другой вне их.

Признаки параллельности прямых

Очевидно, что пользуясь определением сделать вывод о параллельности двух прямых невозможно. Поэтому для того чтобы сделать заключение о том, что две прямые параллельны, пользуются признаками .

Один из них вы уже можете сформулировать, познакомившись с материалами первой части видеоурока:

Теорема 1 . Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, то есть параллельны.

С другими признаками параллельности прямых на основе равенства определенных пар углов вы познакомитесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Признаки параллельности прямых».

Таким образом, вы должны знать еще три признака параллельности прямых.

Теорема 2 (первый признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рис. 2. Иллюстрация к первому признаку параллельности прямых

Еще раз повторите первый признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а также признак параллельности прямых как перпендикулярных одной прямой.

Задание 1.

Запишите формулировку первого признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 3 (второй признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Еще раз повторите второй признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

При доказательстве второго признака параллельности прямых используется свойство вертикальных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 2.

Запишите формулировку второго признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 4 (третий признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Еще раз повторите третий признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется свойство смежных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 3.

Запишите формулировку третьего признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Для того чтобы потренироваться в решении простейших задач, поработайте с материалами электронного образовательного ресурса « ».

Признаки параллельности прямых используются при решении задач.

Теперь рассмотрите примеры решения задач на признаки параллельности прямых, поработав с материалами видеоурока «Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых».

А теперь проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса « ».

Тот, кто хочет поработать с решением более сложных задач, может поработать с материалами видеоурока «Задачи на признаки параллельности прямых».

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые обладают набором свойств.

Вы узнаете, какие это свойства, поработав с материалами видеоурока «Свойства параллельных прямых».

Таким, образом, важным фактом, который вы должны знать, является аксиома параллельности.

Аксиома параллельности . Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую , параллельную данной, и притом только одну.

Как вы узнали из материалов видеоурока, опираясь на эту аксиому, можно сформулировать два следствия.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую .

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Задание 4.

Запишите формулировку сформулированных следствий и их доказательства в свои тетради.

Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей являются теоремами, обратными соответствующим признакам.

Так, из материалов видеоурока вы узнали свойство накрест лежащих углов.

Теорема 5 (теорема , обратная первому признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Задание 5.

Еще раз повторите первое свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Теорема 6 (теорема , обратная второму признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых соответственные углы равны.

Задание 6.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите второе свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Теорема 7 (теорема , обратная третьему признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180 0 .

Задание 7.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите третье свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Все свойства параллельных прямых также используются при решении задач.

Рассмотрите типичные примеры решения задач, поработав с материалами видеоурока «Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей».