Наибольший общий делитель (НОД) – определение, примеры и свойства. Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства Как найти нод примеры
Делимое, которое делится на данный делитель без остатка, иначе называют кратным . Например, 48 кратно 8, число 48 - кратное, число 8 - делитель.
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называют общим кратным . Например, число 77 общее кратное чисел: 1, 7, 11, 77.
Ещё пример. Числу 3 кратны числа 12, 15 , 24, 27, 30 и т. д. Числу 5 кратны числа 10, 15 , 25, 30 , 35 и т. д. Числа 3 и 5 имеют общие кратные 15 и 30.
Найти общее кратное нескольких чисел довольно просто, можно просто перемножить данные числа, в результате, произведение этих чисел и будет их общим кратным.
НОК
Из всех общих кратных для данных чисел, особый интерес представляет наименьшее общее кратное.
Наименьшим общим кратным (сокращённо НОК) нескольких данных чисел называется самое маленькое число, которое делится нацело на каждое из данных чисел.
Например, для трёх чисел: 3, 5 и 12 наименьшим общим кратным является число 60, так как никакое другое число меньше 60 не делится нацело на 3, на 5 и на 12.
Обычно наименьшее общее кратное записывают так: НОК (a , b , ...) = x .
Согласно этому, запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 12:
НОК (3, 5, 12) = 60.
Калькулятор НОК
Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.
Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …,НОД(d k-1 , a k)=d k .
Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.
Пример.
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .
Решение.
В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .
Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ;60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .
Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .
Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , тоd 4 =НОД(6, 36)=6 .
Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
Ответ:
НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.
Пример.
Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.
Решение.
Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 ,294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .
Ответ:
НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
К началу страницы
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.
Пример.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .
Решение.
Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно,НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231 и −140 равен 7 .
Ответ:
НОД(−231, −140)=7 .
Пример.
Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .
Решение.
При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9 .
Ответ:
НОД(−585, 81, −189)=9 .
35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)
36. Кратні корені, критерій кратності кореня.
Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".
Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.
Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.
Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.
Как найти наименьшее общее кратное чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.
Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.
Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.
Например, кратные числа 4 можно записать так:
К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}
К (6) = {12, 18, 24, ...}
Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:
НОК (4, 6) = 24
Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.
Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.
Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.
В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.
Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.
В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.
Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.
Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.
В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).
Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.
Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.
Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.
Например, НОК (10, 11) = 110.
Общим делителем нескольких чисел называют такое число, на которое делится каждое из данных чисел. Например, дано два числа: 6 и 9. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6. Число 9 имеет делители 1, 3, 9. Мы видим, что числа 6 и 9 имеют общие делители 1 и 3.
Наибольшим общим делителем (сокращённо НОД) нескольких чисел, называют самый большой из общих делителей, на который каждое из данных чисел делится без остатка.
Таким образом, из всех общих делителей чисел 6 и 9, наибольшим общим делителем является число 3.
Обычно наибольший общий делитель записывают так: НОД (a , b , ...) = x .
Согласно этому, запишем наибольший общий делитель чисел 6 и 9:
НОД (6, 9) = 3.
Числа, НОД которых равен единице, называют взаимно простыми числами . Например, числа 14 и 15 являются взаимно простыми: НОД (14, 15) = 1.
Калькулятор НОД
Данный калькулятор поможет вам найти наибольший общий делитель чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОД.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное - ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.
Основные понятия
Делитель целого числа X - это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 - это 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратное целого X - это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 - 12.
Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем - 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.
Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.
Нахождение НОД
Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:
- последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
- разложение чисел на неделимые множители;
- алгоритм Евклида;
- бинарный алгоритм.
Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.
Нахождение НОК
Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:
НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).
Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК - поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.
Взаимно простые числа
Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.
Калькулятор общего делителя и кратного
При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК - ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.
Примеры из реальной жизни
Общий знаменатель дробей
Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ - 53/120.
Решение линейных диофантовых уравнений
Линейные диофантовы уравнения - это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.
Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.
Заключение
НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.