Теория сложения и умножения. Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Рассматривается эксперимент Е . Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F . Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е . Обозначается Ω.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента Е . Обозначается .
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента Е .
Дополнительным (противоположным) событию А называется событие, обозначаемое , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событиеА .
Суммой (объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий (рисунок 3.1). Обозначения .
Рисунок 3.1
Произведением (пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно) (рисунок 3.2). Обозначения . Очевидно, что события А и Внесовместны , если .
Рисунок 3.2
Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие:
Событие В называют частным случаем события А , если с появлением события В появляется и событие А . Говорят также, что событие В влечет событие А (Рисунок 3.3). Обозначение .
Рисунок 3.3
События А и В называются эквивалентными , если они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимента Е . Обозначение . Очевидно, что, еслии.
Сложным событием называют наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью алгебраических операций.
Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляют с помощью формул сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей
Следствия:
1) в случае, если события А и В несовместны, теорема сложения приобретает вид:
2) в случае трех слагаемых теорема сложения записывается в виде
3) сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1:
Совокупность событий ,, …,называютполной группой событий , если
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:
Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называют условной вероятностью и обозначают или.
А и В – зависимые события , если .
А и В – независимые события , если .
Теорема умножения вероятностей
Следствия:
1) для независимых событий А и В
2) в общем случае для произведения трех событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
Образцы решения задач
Пример 1 ‑ В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны ,,. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Решение
Первый способ.
Обозначим события: - в цепи произошел отказ соответственно первого, второго и третьего элементов.
Событие А – тока в цепи не будет (откажет хотя бы один из элементов, так как они включены последовательно).
Событие ‑ в цепи ток (работают три элемента), . Вероятность противоположных событий связана формулой (3.4). Событие представляет собой произведение трех событий, являющихся попарно независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий получаем
Тогда вероятность искомого события .
Второй способ.
С учетом принятых ранее обозначений запишем искомое событие А – откажет хотя бы один из элементов:
Так как слагаемые, входящие в сумму, совместны, следует применить теорему сложения вероятностей в общем виде для случая трех слагаемых (3.3):
Ответ: 0,388.
Задачи для самостоятельного решения
1 В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
2 В мешке смешаны нити, среди которых 30 % белых, а остальные –красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут: одного цвета; разных цветов.
3 Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: только один элемент; только два элемента; все три элемента; хотя бы два элемента.
4 Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
а) на каждой грани из выпавших появится пять очков;
б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;
в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков;
г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
5 Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
6 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: в первый раз; во второй раз; в оба раза.
7 Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной раз будет продана пара обуви 46-го размера, равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера?
8 В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных шести деталях окажется не более одной нестандартной.
9 Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:
а) из трех проверенных изделий только два окажутся нестандартными;
б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
10 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки:
а) три карточки вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «мир»;
б) извлеченные три карточки можно поменять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из них можно сложить слово «мир»?
11 Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две независимые очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью равна 0,2, а второй ‑ 0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет по истребителю стрельбу из орудий кормовой установки и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что в результате воздушного боя сбит бомбардировщик или истребитель.
Домашнее задание
1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2 Решить задачи
Задача 1 . Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.
Задача 2 . Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что каждое из них имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2. Требуется определить вероятность:
а) того, что откажет одно из устройств, а второе будет исправно;
б) безотказной работы каждого из устройств.
Задача 3 . Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания для первого охотника равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено выстрелов:
г) четыре.
Задача 4 . Деталь проходит четыре операции обработки. Вероятность получения брака при первой операции равна 0,01, при второй – 0,02, при третьей – 0,03, при четвертой – 0,04. Найти вероятность получения детали без брака после четырех операций, предполагая, что события получения брака на отдельных операциях являются независимыми.
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей . Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.
Методические указания по теме 3.1:
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:
Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.
Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
Вероятностью события называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность
Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим .
Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m , благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .
Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:
Число случаев m , благоприятствующих событию , составляет
По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:
Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.
Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные.
Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:
Сложив найденные величины, получим
Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:
Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A ); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B ) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB ). Таким образом, т.е.
Теорема умножения вероятностей:
Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем
По формуле получим:
Вопросы для самопроверки по теме 3.1:
1. Что такое событие?
2. Какие события называются достоверными?
3. Какие события называются невозможными?
4. Дать определение вероятности.
5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.
6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.
Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:
1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.
2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.
3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.
5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.
Лекция 7. Теория вероятностей
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.
Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 1 . А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.
Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Доказательство . Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий, имеем:
Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ). (*)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А
или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
Р(А) = Р(А ) + Р(АВ).
Р(А )=Р(А) – Р(АВ). (**)
Аналогично имеем
Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ).
Р(ĀВ) = Р(В) – Р(АВ). (***)
Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (****)
Что и требовалось доказать.
Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми , так и зависимыми .
Для независимых событий
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р(В);
Для зависимых событий
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р А (В).
Замечание 2. Если события А и В несовместны , то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.
Формула (****) для несовместных событий принимает вид
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.
Пример 2.
Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе
(из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.
Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)
Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.
Искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q 1 q 2
В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы:
q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;
q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;
Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна
P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.
Как и следовало ожидать, получен тот же результат.
Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу (советую повторить).
Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто)). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.
Немного важной и простой теории:
несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».
Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то времени. Существую варианты:
- Перегорает первая и перегорает вторя
- Перегорает первая и не перегорает вторая
- Не перегорает первая и перегорает вторая
- Не перегорает первая и перегорает вторая.
Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут и никакое из них с любым другим...
Определение: События называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого.
Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик. Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события.
О сумме вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.
Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:
Пример с игральной костью:
Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?
Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:
Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6 = 0,5.
*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)
Об умножении вероятностей
Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий А и В называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:
Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.
Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?
Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:
Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.
Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.
Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит, что они происходят в некоторый промежуток времени (при одном испытании).
Например:
Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)
Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)
Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно это означает при одном испытании)
Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят во время одного испытания.
События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события.
Рассмотрим задачи:
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.
Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.
Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:
0,0140 + 0,0130 = 0,027
Ответ: 0,027
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.
Вероятность произведения указанных событий будет равна 0,62∙0,2 = 0,124.
Ответ: 0,124
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий: 0,3 + 0,25 = 0,55.
*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.
Ответ: 0,55
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.
Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1
*Промах и попадание это события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий. Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.
Округляем до сотых, получаем 0,07
Ответ: 0,07
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.
Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.
Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951.
*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию «хотя бы один».
Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:
1. «неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049
2. «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651
3. «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651
4. «исправен-исправен» 0,93∙0,93 = 0,8649
Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.
Определение: События называются равновозможными , если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.
В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.
В мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!
На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Теорема сложения
Вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
В случае двух несовместных событий А и В имеем:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (7)
Событие, противоположное событию А обозначают . Объединение событий А и даёт событие достоверное, а поскольку события А и несовместны, то
Р(А) +Р() = 1 (8)
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А и обозначается символом Р В (А).
Если события А и В независимые, то Р(В) = Р А (В).
События А, В, С, … называются независимыми в совокупности , если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой комбинации их и в любом числе.
Теорема умножения
Вероятность того, что произойдут события и А, и В, и С, … равна произведению их вероятностей, вычисленных в предположении, что все предшествующие каждому из них события имели место, т. е.
Р(АВ) = Р(А)Р А (В) (9)
Запись Р А (В) обозначает вероятность события В в предположении, что событие А уже имело место.
Если события А, В, С, … независимы в совокупности, то вероятность того, что произойдут все они, равна произведению их вероятностей:
Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) (10)
Пример 3.1. В мешке лежат шары: 10 белых, 15 чёрных, 20 голубых и 25 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым? чёрным? И ещё: белый или чёрный?
Решение.
Число всех возможных испытаний n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;
Вероятность Р(б) = 10/70 = 1/7, Р(ч) = 15/70 = 3/14.
Применяем теорему сложения вероятностей:
Р(б + ч) = Р(б) + Р(ч) = 1/7 + 3/14 = 5/14.
Примечание: заглавные буквы в скобках соответственно обозначают цвет каждого шара согласно условию задачи.
Пример 3.2 В первом ящике два белых и десять чёрных шаров. Во втором ящике восемь белых и четыре чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Определить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение.
Событие А – появление белого шара из первого ящика. Событие В – появление белого шара из второго ящика. События А и В – независимые.
Вероятности Р(А) = 2/12 = 1/6, Р(В) = 8/12 = 2/3.
Применяем теорему умножения вероятностей:
Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 2/18 = 1/9.
Вопросы для повторения
1 Что называется факториалом?
2 Перечислите основные задачи комбинаторики.
3 Что называется перестановками?
4 Что называется перемещениями?
5 Что называется сочетаниями?
6 Какие события называются достоверными?
7 Какие события называются несовместными?
8 Что называется вероятностью события?
9 Что называется условной вероятностью?
10 Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.
11 пр .Размещением из п элементов по к (к ≤ п ) называется любое множество, состоящее из к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.
Таким образом, два размещения из п элементов по к считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения Число размещений из п элементов по к обозначают А п к и вычисляют по формуле
А п к =
Если размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то они представляют собой перестановки из п элементов
Пример1 . Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета
Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем
А 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024
Расписание можно составить 3024 способами
Пример2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6 ?
Решение Если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений
22
из 7 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтом из размещений из 7 элементов по3 надо исключить те, у которых первым элементом является 0. Их число равно числу размещений их 6 элементов по 2. =
Значит искомое число трехзначных чисел равно
А 7 3 - А 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.
3. Закрепление полученных знаний в процессе решения задач
№754 . Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Решение. Число способов равно А 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
№755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Т.к.любой из участников может быть как секретарем, так и председателем, то число способов их избрания равно
А 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870
№762 Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1,3,5,7,9. б) 0,2,4,6,8?
Решение а) А 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
б)) А 5 4 - А 4 3 = 5! – 4! = 120 – 24= 96
Домашнее задание № 756, №757, № 758, №759.
6урок Тема: « Сочетания»
Цель: Дать понятие о сочетаниях, познакомить с формулой для вычисления сочетаний, научить применять эту формулу для подсчета числа сочетаний.
1 Проверка домашнего задания.
№ 756 . На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
23
Решение: А 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 способов
№757 Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4х100м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение: А 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880
№ 758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: А 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240
№759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой 20 одноместных столов?
Решение: А 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200
Организовать проверку домашнего задания можно разными способами: устно проверить решение домашних упражнений, решения некоторых из них записать на доске, а пока идет запись решений провести опрос уч-ся по вопросам:
1. Что означает запись п!
2.Что называется перестановкой из п элементов?
3.По какой формуле считают число перестановок?
4. Что называют размещением из п элементов по к?
5. п элементов по к?
2 Объяснение нового материала
Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами а, в, с, д, е. Требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.
Если в букет входит гвоздика а , то можно составить такие букеты:
авс, авд, аве, асд, асе, аде.
Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика в , то можно получить такие букеты:
всд, все, вде.
Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика в, то возможен только один вариант составления букета:
сде.
24
Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по – разному сочетаются три гвоздики из 5. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что С 5 3 = 10.
Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по к, где к ≤ п.
Выясним сначала, как С 5 3 выражается через А 5 3 и Р 3 . Мы нашли, что их 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента:
авс, авд, аве, асд, асе, аде, всд, все, вде, сде.
В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из 3 элементов равно Р 3 . В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3, которые различаится либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е. все размещения из 5 элементов по 3. Всего мы получим А 5 3 размещений.
Значит , С 5 3 ∙ Р 3 = А 5 3 , отсюда С 5 3 = А 5 3: Р 3
Рассуждая в общем случае получим С п к = А п к: Р к,
Пользуясь тем, что А п к = , где к ≤ п., получим С п к = .
Это формула для вычисления числа сочетаний из п элементов по к при любом
к ≤ п.
Пример1 . Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3
С 15 3 = = (13∙ 14∙15) : (1∙ 2 ∙ 3) = 455
Приме2 В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Выбрать 3 мальчиков из 12 можно С 12 3 , а двух девочек из 10 можно выбрать С 10 2 . Т. к. при каждом выборе мальчиков можно С 10 2 способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говориться в задаче можно
С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900
3) Закрепление нового материала, в процессе решения задач
25
Задача
У Саши в домашней библиотеке есть 8 исторических романов. Петя хочет взять у него 2 любых романа. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: С 8 2 = = (7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28
№779 а
В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира команду из 4 человек?
Решение: С 16 4 = = (13∙ 14∙15 ∙16) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820
№774 Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта спротзала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?
С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950
Домашняя работа №768, №769, № 770, № 775
7урок Тема: « Решение задач на применение формул для подсчета числа перемещений, размещений, сочетаний»
Цель: Закрепление знаний учащихся. Формирование навыков решения простейших комбинаторных задач
1 Проверка домашнего задания
№768 В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение: С 7 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21
№769 В магазине « Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение: С 8 3 = = (6 ∙ 7 ∙ 8) : (1∙ 2 ∙ 3) = 56
26
№770 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение: С 10 6 = = (7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210
№775 В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
Решение: С 10 3 ∙ С 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720
Вопросы классу
1.Что называется перестановкой из п элементов?
2.По какой формуле считают число перестановок?
3. Что называют размещением из п элементов по к?
4. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?
5. Что называют сочетанием из п элементов по к?
6. По какой формуле считают число сочетаний из п элементов по к?
Задачи для совместного решения
При решении каждой задачи вначале идет обсуждение: какая из трех изученных формул поможет получить ответ и почему
1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 4,6,8,9, при условии, что все цифры разные?
2. Из 15 человек в группе студентов надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
3. Из 10 лучших учащихся школы два человека надо послать на слет лидеров.
Сколькими способами это можно сделать?
Замечание: В задаче №3 не имеет значения кого выбрать: любых 2 человек из 10, поэтому здесь работает формула для подсчета числа сочетаний.
В задаче №2 выбирают упорядоченную пару,т.к. в выбранной паре,если фамилии поменять местами это будет уже другой выбор, поэтому здесь работает формула для подсчета числа размещений
Ответы к задачам для совместного решения:
№1 24 числа. №2 210 способов. №3 45 способов
Задачи для совместного обсуждения и самостоятельных вычислений
№1Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?
27
№2 Сколькими способами можно составить расписание для учащихся 1класса на один день, если у них 7 предметов, и в этот день должно быть 4 урока?
(Число размещений из 7 по 4)
№3 В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по- новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений.
№4 К хозяину дома пришли гости А,В,С,Д. За круглым столом – пять разных стульев. Сколько существует способов рассаживания?
(В гости пришли 4 человека + хозяин = 5 человек рассаживаются на 5 стульях, надо посчитать число перестановок)
5. В книжке раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры в разные цвета. Сколько существует способов раскрашивания?
(Посчитайте число размещений из 7 по 3)
№6 В классе 10 мальчиков и 4 девочки. Надо выбрать 3 человека дежурными так, чтобы среди них было 2 мальчика и 1 девочка. Сколькими способами это можно сделать?
(Число сочетаний из 10 по 2 умножить на число сочетаний из 4 по 1)
Ответы для задач с самостоятельным вычислением
№1 15 рукопожатий
№2 840 способов
№3 720дней
№5 120 способов
№6 180 способов
Домашнее задание №835, №841
8 урок Тема: « Самостоятельная работа»
Цель: Проверка знаний учащихся
1.Проверка домашнего задании
№^ 835 Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр а) 1,2,3,7 . б) 1,2,3,4.
28
а) Наши числа должны оканчиваться четной цифрой, такая цйфра в условии одна это цифра 2 , поставим ее на последнее место, а оставшиеся 3 цифры будем переставлять, число таких перестановок равно 3! = 6 .Значит можно составить 6 четных чисел
б) рассуждаем как в примере а) поставив на последнее место цифру 2 получим 6 четных чисел, поставив на последнее место цифру 4 получим еще 6 четных чисел,
значит всего 12 четных чисел
№841 Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся можно выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и его помощника?
а) т.к. дежурными могут быть любые 2 человека из 24 , то количество пар равно
С 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276
б) здесь выдирают упорядоченную пару элементов из 24 элементов, количество таких пар равно А 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552
1 вариант решает задания № 1,2,3,4,5.
2 вариант решает задания №6,7,8,9,10.
Решение простейших комбинаторных задач
(по материалам к.р. в апреле 2010 года)
1 . Сколькими способами можно расставить на полке пять книг разных авторов?
2. Сколькими способами можно составить полдник из напитка и пирожка, если в меню указаны: чай, кофе, какао и пирожки с яблоком или с вишней?
3. В среду по расписанию в 9 «А» классе должно быть 5 уроков: химия, физика, алгебра, биология и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
4. Имеются 2 белых лошади и 4 гнедых. Сколькими способами можно
составить пару из лошадей разной масти?
5. Каким числом способов можно разложить 5 различных монет в 5 разных карманов?
29
6. В шкафу на полке лежат 3 шапки различных фасонов и 4 шарфа разных цветов. Сколькими способами можно составить набор из одной шапки и одного шарфа?
7. В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами
можно установить очередность выступления участниц финала красоты?
^ 8 .Имеются 4 утки и 3 гуся. Сколькими способами можно из них выбрать две разных птицы?
9. Сколькими способами можно разложить 5 разных писем по 5 разным
конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
10. В коробке хранятся 5 красных и 4 зелёных шара. Сколькими способами можно составить пару из шаров разного цвета?
Ответы для заданий самостоятельной работы