2 параллельные прямые пересечены. Н.Никитин Геометрия. накрест лежащие углы равны

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b .

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b , а также, что прямая b параллельна прямой a .

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых . В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы . Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 -9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой). Таким образом, если и - направляющие векторы прямых a и b , а и - нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как , или , или , где t - некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как .

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямой b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности этих прямых примет вид . Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны. И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Параллельны ли прямые и ?

Решение.

Перепишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения прямой: . Теперь видно, что - нормальный вектор прямой , а - нормальный вектор прямой . Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t , для которого верно равенство (). Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

Ответ:

Нет, прямые не параллельны.

Пример.

Являются ли прямые и параллельными?

Решение.

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d . Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:

Если две параллельные прямые пересечены третьей, то:

1. соответственные углы равны;
2. внутренние накрест лежащие углы равны;
3. внешние накрест лежащие углы равны;
4. сумма внутренних односторонних углов равна 2d;
5. сумма внешних односторонних углов равна 2d.

Докажем, например, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (рис.). Докажем, что соответственные углы 1 и 2 равны между собой.

Допустим, что ∠1 и ∠2 не равны. Тогда при точке О можно построить ∠МОК, соответственный и равный ∠2 (рис.).

Но если ∠МОК = ∠2, то прямая ОК будет параллельна СD.

Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и ОК, параллельные прямой СD. Но этого быть не может.

Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что ∠1 и ∠2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и ∠1 должен быть равен ∠2, т. е. соответственные углы равны.

Установим соотношения между остальными углами. Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (рис.).

Мы только что доказали, что в этом случае соответственные углы равны. Положим, что какие-нибудь два из них имеют по 119°. Вычислим величину каждого из остальных шести углов. На основании свойств смежных и вертикальных углов мы получим, что четыре угла из восьми будут иметь по 119°, а остальные - по 61°.

Оказалось, что как внутренние, так и внешние накрест лежащие углы попарно равны, а сумма внутренних или внешних односторонних углов равна 180° (или 2d).

То же самое будет иметь место и при любом другом значении равных соответственных углов.

Следствие 1. Если каждая из двух прямых АВ и СD параллельна одной и той же третьей прямой МN, то первые две прямые параллельны между собой .

В самом деле, проведя секущую ЕF (рис.), получим:

а) ∠1 = ∠3, так как АВ || МN; б) ∠ 2 = ∠3, так как СО || МN.

Значит, ∠1 = ∠2, а это углы соответственные при прямых АВ и СD и секущей ЕF, следовательно, прямые АВ и СD параллельны.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой .

В самом деле, если ЕF ⊥ АВ, то ∠1 = d ; если АВ || СD, то ∠1 = ∠2.

Следовательно, ∠ 2 = d т. е. ЕF ⊥ СD .

Опре-де-ле-ние:

Две пря-мые на-зы-ва-ют-ся па-рал-лель-ны-ми , если они не пе-ре-се-ка-ют-ся (Рис. 1). Обо-зна-ча-ет-ся это так: .

Через точку, не ле-жа-щую на дан-ной пря-мой, про-хо-дит толь-ко одна пря-мая, па-рал-лель-ная дан-ной(Рис. 2).

Cледствия из аксиомы

След-ствие 1:

Если пря-мая пе-ре-се-ка-ет одну из па-рал-лель-ных пря-мых, то она пе-ре-се-ка-ет и дру-гую.

Дано: .

До-ка-зать: .

До-ка-за-тель-ство:

Будем до-ка-зы-вать от про-тив-но-го. Пред-по-ло-жим, что с не пе-ре-се-ка-ет пря-мую b (Рис. 4).

Тогда:(по усло-вию), (по пред-по-ло-же-нию). То есть через точку М про-хо-дят две пря-мые (а и c ), па-рал-лель-ные пря-мой b . А это про-ти-во-ре-чит ак-сио-ме. Зна-чит, наше пред-по-ло-же-ние невер-ное. Тогда пря-мая c пе-ре-се-чет пря-мую b .

След-ствие 2:

Если две пря-мые па-рал-лель-ны тре-тьей пря-мой, то они па-рал-лель-ны (Рис. 5).

Дано: .

До-ка-зать: .

До-ка-за-тель-ство:

Будем до-ка-зы-вать от про-тив-но-го. Пред-по-ло-жим, что пря-мые a и b пе-ре-се-ка-ют-ся в неко-то-рой точке М (Рис. 6).

Таким об-ра-зом, по-лу-ча-ем про-ти-во-ре-чие с ак-си-о-мой: через точку М про-хо-дят две пря-мые, од-но-вре-мен-но па-рал-лель-ные тре-тьей пря-мой.

Сле-до-ва-тель-но, наше пред-по-ло-же-ние невер-но. Тогда .

Теоремы о свойствах параллельных прямы

Тео-ре-ма 1:

Если две пря-мые пе-ре-се-че-ны се-ку-щей, то на-крест ле-жа-щие углы равны (Рис. 7).

Дано: .

До-ка-зать: .

До-ка-за-тель-ство:

Будем до-ка-зы-вать от про-тив-но-го. Пред-по-ло-жим, что: .

Тогда от луча MN можно от-ло-жить един-ствен-ный угол ∠ PMN , ко-то-рый будет равен ∠ 2 (Рис. 7). Но тогда ∠ PMN и ∠ 2 - на-крест ле-жа-щие и равны. Тогда пря-мые PM и b - па-рал-лель-ны. Тогда через точку М про-хо-дят две пря-мые, па-рал-лель-ные тре-тьей. А имен-но: